整数
今日できるようになること
数をみて，それが整数か自然数か言えるようになります。整数や自然数がなにかわかっていないと，例えば，高校入試の問題文も理解することができません。次の問題2019年の西大和学園高校の入学試験問題です。
$$ 2019 + m^2 = n^2 $$
m, n は３桁の自然数です。m, n をそれぞれ求めなさい。
自然数という言葉があります。将来の高校受験のためにも今日は自然数や整数がなんなのかしっかり理解しましょう。
いろいろな呼び名
中学校では数をいろいろな名前で呼びます。
例えば，次のような名前があります。
- 自然数
- 負数
- 整数
なにがちがうのでしょうか。
自然数
- 1 は自然数です。
- その 1 に 1 を足した数 2 も自然数です。
- その 2 に 1 を足した数 3 も自然数です。
- その 3 に 1 を足した数 4 も自然数です。
つまり，自然数は，1 と それに1を足してできる数，そしてそのできた数に1を足してできる数のことです。
ですから，1, 2, 3 は次のような数です。
- 1 とは 1 を 1 回足した数です。
- 2 とは 1 を 2 回足した数です。
- 3 とは 1 を 3 回足した数です。
これを一般化すると次のように書けます。
$$
n = \underbrace{ 1 + 1 + \cdots + 1 }_{n回1を足す}\\
\hspace{80pt}(n > 0)
$$
ここで n という文字がでてきました。小学校では値が決まっていたものをあらわすのに四角をつかっていましたね。中学校では四角ではなく，四角に名前をつけて使うと考えてください。ここでは n とつけています。なぜ n か。英語で数字のことを number というので，その頭文字をとっているだけです。
任意の数字が入るよという意味です。任意というのも難しい言葉ですが，なんでもはいるということです。しかし，何でもと言っても限りがあります。この場合は括弧内でそれが明示されています。
n>0 とあります。n がゼロより大きい場合に限るという意味ですね。
負数
- -1 は負数です。
- その -1 に -1 を足した数 -2 も負数です。
- その -2 に -1 を足した数 -3 も負数です。
- その -3 に -1 を足した数 -4 も負数です。
つまり，負数は，-1 と それに-1を足した数，そしてそのできた数に-1を足してできる数のことです。
$$
n = \underbrace{ -1 + (-1) + (-1) }_{n回-1を足す}\\
\hspace{80pt}(n<0)
$$
自然数と負数はなにがちがう
ちがいは，ゼロより大きい値が自然数。ゼロより小さい値が負数となります。
ここで，ゼロは自然数にも負数にも含まれないことがわかります。
整数
整数とはなにか。
整数とは，上の自然数，負数，ゼロを含んだ数のことをいいます。
図でいうと数直線の上の大きな区切りの数を整数といいます。
まとめると整数とは次のような数をいいます。
$$
n = \underbrace{ 1 + 1 + \cdots + 1 }_{n回1を足す}\\
\hspace{80pt}(n > 0)
$$
$$
n = 0 \\
\hspace{80pt}(n = 0)
$$
$$
n = \underbrace{ -1 + (-1) + (-1) }_{n回-1を足す}\\
\hspace{80pt}(n<0)
$$
イメージできましたか？それでは理解したかどうか，演習をして確認しましょう。
演習１
1 は自然数ですか，ゼロですか，負数ですか？
演習２
3.333⋯は整数ですか？
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